Latar Belakang

Dalam perdagangan sangat berkaitan erat dengan matematika karena dalam perdagangan pasti akan ada perhitungan, di mana perhitungan tersebut bagian dari matematika. Secara tidak sadar ternyata semua orang menggunakan matematika dalam kehidupan sehari-hari seperti jika ada orang yang sedang membangun rumah maka pasti orang tersebut akan mengukur dalam menyelesaikan pekerjaannya itu. Oleh karena itu matematika sangat bermanfaat sekali dalam kehidupan sehari-hari.

Salah satu karakteristik matematika adalah mempunyai objek yang bersifat abstrak ini dapat menyebabkan banyak siswa mengalami kesulitan dalam matematika. Prestasi matematika siswa baik secara nasional maupun internasional belum menggembirakan. Dalam pembelajaran matematika siswa belum bermakna, sehingga pengertian siswa tentang konsep sangat lemah.

1.2      Identifikasi Masalah

1.     Apa pengertian barisan dan deret ?

2.    Apa pengertian Aritmatika?

3.    Apa rumus barisan aritmatika, suku tengah barisan aritmatika, sisipan barisan aritmatika dan deret aritmatika?

4.    Bagaimana rumus barisan geometri , deret geometri, dan geometri tak hingga?

1.3      Tujuan

Dapat mengerti , memahami, dan memnetukan mngenai barisan dan deret serta aplikasinya.

2.1 BARISAN DAN DERET

Barisan bilangan merupakan sususan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama dilambangkan dengan U₁ maka bilangan ke 2 adalah U₂ dan bilangan ke 3 adalah U₃ … dan bilangan ke n ada U_n . Maka barisan itu dapat dituliskan U₁ , U₂ , U₃ , … U_n.

Misalkan U₁ , U₂ , U₃ , … U_n merupakan suatu barisan . Jumlah suku suku suatu barusan itu dinamakan sebagai deret , dan ditulis sebagai berikut

          U₁ + U₂ + U₃ … + U_n dan jumlah dari suatu deret dilambangkan dengan S_n

2.1.1       Barisan Aritmatika (Barisan Hitung)

Secara umum dirumuskan dengan bentuk

U_n = a + (n – 1)b dengan b = U_n – U_n-1

Dengan keterangan ;

a adalah suku pertama

n adalah banyaknya suku

U_n adalah suku ke n

Contoh Soal

1.     Juka diketahui barisan Aritmatika 3,7,11,15… carilah rumus ke-n dan suku ke-30

Penyelesaian :

Nilai a = 3 dan b 7 – 3 = 4

Suku ke-n    U_n = a + (n – 1)b

                        = 3 + (n – 1)4

                        = 3 + 4n-4 = 4n – 1

Suku ke 30    U₃₀ = 3 + 4(30) – 1

                          = 119

Suatu barisan Aritmatika dengan banyak suku ganjil. Maka dapatlah suku tengah dari barisan artmatika itu dengan :

Ut = U1 + Un  atau Ut = ­1 (U1 + Un) dengan t = 1 (n + 1)

2                    2                               2

     Contoh Soal

1.     Jika barisan Aritmatika 3,8,13,…,283. Tentukanlah suku tengahnya dan suku keberapakah suku tengah tersebut?

Penyelesaian :

Dik : U₁ = 3 ; U_n = 283

Maka U_{t =} U₁ + U_n

                          2

                                = 3 + 283 = 143

                                       2

                  Dan untuk ,    U_t                    = 143

                                    a + (t – 1)b  = 143

                                    3 + 5t – 5   = 143

                                           5t      = 145

                                             t      = 29

Namun bila suatu barisan disisipkan buah bilangan antara x dan y maka beda barisan yang terbentuk :

              b = y – x

                    k + 1

              Dengan keterangan :

              K adalah banyak bilangan

              X adalah bilangan ke-1

              Y adalah bilamham ke-2

Contoh Soal

1.     Jika antara bilangan 21 dan 117 disisipkan 11 bilangan  yang berakibatkan terbentuklah barisan Aritmatika. Tentukan beda dan suku ke-10

Penyelesaian :

b = y – x  = 117 – 21 = 96 = 8

                    k + 1      11 + 1       12

              Maka didapat , U₁₀ = a + (n – 1) b

                                            = 21 + (10 – 1) 8

                                           = 93

2.    Tiga bilangan diantara 8 dan 60

         Penyelesaian :

     b = y – x = 60 – 8 = 52 = 13

                         k + 1     3 + 1      4

                  Maka barisan aritmatika yang terbentuk adalah 8,21,34,47,60

2.1.2 Deret Aritmatika (Deret Hitung)

 Deret Aritmatika dilambangkan S_n. Berikut adalah sifat-sifat S_n :

Bila a adalah suku pertama dari U_n

Sn = n  (2a + (n – 1)b atau Sn = n  (a + Un­)

2                                    2

Contoh Soal

1.     Diketahui deret bilangan 10 + 12 + 14 + 16 +… + 98 dari deret bilangan itu jumlah bilangan yang habis dibagi 2dan tidak habis dibagi 5 adalah …

Penyelesaian :

U_n = a + (n – 1)b                                   S_n  = n/2 (a + U_n)

98 = 10 + (n – 1)2                                S₄₅ = 45/2 (10 + 98)

98 = 10 + 2n-2                                          = 45/2 108     

n    = 45                                                   = 2430

Bila yang dimaksud adalah 10,20,30,40,50,…,90.

U_n = a + (n – 1)b                                   S_n  = n/2 (a + U_n)

90 = 10 + (n – 1)10                               S₉  = 9/2 (10 + 90)

90 = 10 + 10n-10                                       = 9(50) 

n    = 9                                                     = 450

Maka, jumlah bilangan yang dimaksud pada soal adalah

S_n = S₄₅ – S₉ = 2430 – 450 = 1980

2.    Bila diketahui suatu deret Aritmatika adalah 12 + 15 + 18 + … maka S₁₀?

Penyelesaian :

S_n = n  (a + (n – 1)b)

       2

S₁₀ = 10 (12 + (10 – 1)3)

         2

      = 5 (51) = 255

2.2.1 Barisan Geometri (Barisan Ukur)

Barisan Geometri adalah barisan dengan rasio (pembandingan/pengali) antar dua suku yang berurutan selalu konstan. Bentuk umum dari deret geometri :

                  

U₁ , U₂ , U₃ , … U_n atau a , a , ar , ar² ,…, ar^n-1 dengan r ≠ 0 yang berarti U_n = ar^n-1

Sehingga berlaku :

                   r = U_n 

                        U_n-1

Dengan keterangan :

r adalah rasio

a adalah suku pertama

U_n adalah suku ke-n

n adalah banyak suku

Barisan Geometri dibagi menjadi 3 yaitu :

      Geometri naik yaitu r > 1 disebut dengan barisan devergen. Contoh : 2,4,8,16,32,64 memiliki r = 2

      Geometri turun yaitu r < 1 disebut juga barisan konvergen. Contoh : 96,48,24,12,6,3,3,3/2… memiliki r = ½

      Geometri bergoyang yaitu suku-suku nya bergantian positif dan negatif , jika r < 0yang disebut alternate.

Contoh Soal :

1.     Bila terdapat barisan geometri 24,12,6,3, dengan suku ke-n adalah U_n .

Tentukan U_n dan suku ke-6 dai barisan tersebut.

Penyelesaian :

Suku ke-n        U_n = ar^n-1

                           = 24.(½)^n-1

                                             = 3.8 (2^-1) ^n-1

                             = 3.2³. 2^{- n+1}

                                              = 3.2^4-n

Suku ke-6 adalah U_n = 3.2^4-n

                                            U₆ = 3.2^4-6

                                      = 3.2^-2 = ¾

Bila Barisan Geometri memiliki banyak suku ganjil n sebagai suku pertama dan  a dan sukuakhir U_n maka U_t adalah :

                                                         U₁                                         

                  

                             U_t = √U₁ . U_n atau U_t² = a . U_n, dengan  t = ½ (n + 1)

                  

Contoh Soal:

1.     Barisan bilangan ½ , 1,2,4,…,128 merupakan barisan geometri dengan banyak suku ganjil. Tentukan suku tengahnya dan suku keberapakah suku tengah tersebut?

Penyelesaian :

U_t = √U₁ . U_n

     = √½ . 128 = √64 = 8

Maka       U_t                          = 8                        t – 1 = 4

              Ar^t-1                     = 8                           t   = 5

½ . 2 ^t-1               = 8

2 ^t-1                       = 16

2 ^t-1                       = 2⁴

Dan apabila diantara x dan y disisipkan k buah bilangan,  maka x , xr, xr², … , xr^k dab dapat dirumuskan r = ^k+1√y/x .

Contoh Soal :

1.     Sisipkan berapa bilangan dibawah ini agar menjadi barisan geometri.

a.    Tiga bilangan diantara 6 dan 48

Penyelesaian :

r = ³⁺¹√48/6

   = ⁴√8

   = 2

Maka barisan geometri yang terbentuk 6, 12, 24, 48

Hasil perkalian suku-suku barisan geometri adalah P = aⁿr^1/2(n-1) dapat dibuktikan dengan

Barisan Geometri : a , ar, ar², …, ar^n-1

P = a . ar . ar² . … . ar^n-1

   = aⁿr^{1+2+3+...+(n-1)}

   = aⁿr^n/2(n-1)

         

2.2.2 Deret Geometri (Deret Ukur)

Pada keseharian pertambahan penduduk mengikuti dari pola deret geometri. Rumus jumlah n suku pertama dari barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah

         

Sn = a (rn – 1) untuk r > 1 atau Sn = a (1 – rn) untk r < 1

r – 1                                      1 - r

1.     Jumlah n suku pertama dari barisan Geometri adalah S_n = 2ⁿ⁺¹ – 2

Tentukan rumus suku ke-n  dan nilai suku ke-7

Penyelesaian ;

S_n = 2ⁿ⁺¹ – 2, Maka U_n = S_n – S_n-1

                                 = (2ⁿ⁺- 2) – (2^n+-1 – 2)

                                 = 2.2ⁿ + 2

                                 = 2ⁿ

Maka U₇ = 2⁷ = 128

2.2.3 Geometri Tak Hingga

        Deret Geometri tak Hingga dapat dirumuskan menjadi :

S_∞ =  a

       1 - r

Contoh Soal :

1.     Tentukan nilai deret geometri berikut

a.    24 + 12 + 6 + …

b.    1 + ⅔ + (⅔)² + (⅔)² + …

Penyelesaian :

a.    24 + 12 + 6 + …

Diperoleh :

a = 24 damn r = ½

Jadi nilai jumlah tak hingga suku-sukunya adalah

S_∞ =  a     =  24   = 48

                                     1 – r    1 – ½

b.    1 + ⅔ + (⅔)² + (⅔)² + …

Diperoleh :

a = 1 dan r = ⅔

Maka , S_∞ =    a     =  1       =  3

                            1 - r     1 – ⅔